Аннотация: статья посвящена исследованию теории расчетов в стохастических финансовых моделях. Также исследуются некоторые свойства арбитража и финансовых рынков.

В работе рассмотрен ряд финансовых моделей специального типа. На основании проделанных исследований были построены различные финансовые модели. Также были рассмотрены примеры различных финансовых рынков, демонстрируется расчеты, связанные с хеджированием Европейского типа на безарбитражных рынках, а также демонстрируются непосредственно примеры вычислений.

Ключевые слова: Ценные бумаги, портфель ценных бумаг, стратегии, хеджирование, безарбитражный рынок, модель рынков, асимптотический арбитраж, форварды, фьючерсы, цена хеджирования.

THEORY OF CALCULATIONS IN STOCHASTIC FINANCIAL

MODELS
Yazubets Stepan Nikolaevich
Yazubets Stepan Nikolaevich— Master of Physics and Mathematics, Department of Functional Analysis and Nonlinear Economics,
Belarusian State University, Minsk

Abstract: the article is devoted to the study of the theory of calculations in stochastic financial models. Some properties of arbitrage and financial markets are also being investigated.

The paper discusses a number of financial models of a special type. Based on the research done, various financial models were constructed. Examples of various financial markets were also considered, demonstrates calculations related to hedging of the European type in arbitrage-free markets, and also demonstrates examples of calculations.

Keywords: Securities, securities portfolio, strategies, hedging, arbitrage-free market, market model, asymptotic arbitrage, forwards, futures, price hedging.

Портфель ценных бумаг на (В, S)-рынке

Резкое повышение интереса к рынку ценных бумаг во всех странах мира относят к началу семидесятых годов XX в. Естественно попытаться понять, что же произошло к началу семидесятых годов, что послужило толчком к новым сдвигам в экономике и, в частности, на рынке ценных бумаг. Финансовый рынок (включая и рынок капитала —— долгосрочных бумаг, и денежный рынок —— краткосрочных бумаг) в шестидесятые годы отличался очень низкой волатильностью (изменчивостью), процентные ставки стали очень устойчивыми, обменный курс валют был фиксированным. С 1934 года по 1971 год США придерживались политики покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долларов на унцию (=28,25 г). Доллар США рассматривался как эквивалент золота, был «так же хорош, как и золото». Тем самым, истинная цена золота определялась не рыночными силами, а искусственным образом.

Такое общее состояние рынка ограничивало инициативу инвесторов, сдерживало введение новой финансовой технологии.

С другой стороны, в 70-х годах произошло несколько событий, способствовавших значительным структурным изменениям и возрастанию волатильности на финансовых рынках. Перечислим наиболее важные среди них.

1. Отказ (1973 г.) от фиксированного обменного курса валют (для ряда групп стран) и переход к «плавающему» курсу (для некоторых видов валют в определенном «коридоре»), что поставило, в частности, интересную и важную задачу об оптимальных интервенциях центральных банков.

2. Обесценивание доллара (по отношению к золоту): в 1971 году администрация Р. Никсона отказалась от фиксированной цены в 35 долларов за унцию золота. Это привело к тому, что в семидесятых годах цена золота в долларовом исчислении резко взлетела вверх: в 1980 году она была равна 570 долларов за унцию, в 1984 году упала до 308 долларов; с 1984 года эта цена флуктуирует преимущественно в интервале 300–400 долларов.

3. Всемирный нефтяной кризис, возникший в связи с политикой нефтяного картеля ОПЕК (OPEC), ставшего одним из основных законодателей цен на нефть на международном рынке. (OPEC —— Organization of the Petroleum Exporting Countries —— создана в 1960 году для унификации и координации нефтяной политики членов этой организации с целью защиты их интересов; в настоящее время ее членами являются Алжир, Ангола, Венесуэла, Ирак, Иран, Катар, Кувейт, Ливия, Нигерия, Объединенные Арабские Эмираты, Саудовская Аравия и Эквадор.)

Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям

1. Мы предполагаем, что интересующий нас рынок ценных бумаг функционирует в условиях «неопределенностей» для вероятностно-статистического описания которых вводится фильтрованное вероятностное пространство


Поток -алгебр  интерпретируется как «поток информаций» , доступных (всем участникам рынка) к моменту времени (включительно), .

Рассматриваемый нами (В, S)-рынок (по определению) состоит из d+1 актива:

банковского счета ( «безрисковый» актив) B

и

акций («рисковые» активы) .

Предполагается, что динамика банковского счета описывается положительной стохастической последовательностью


где при каждом  величины  являются -измеримыми.

Динамика i-го рискового актива  описьшается также положительной стохастической последовательностью


где при каждом  величины  являются -измеримыми.

Из этих определений ясна принципиальная разница между банковским счетом и акциями. -измеримость  означает, что значение банковского счета в момент времени n полностью становится известным (по получении всей информации) уже в момент времени n - 1. В этом смысле значение  является предсказуемым.

Совсем иная ситуация с ценами акций: -измеримость величин  означает, что их значения становятся известными только по получении всей «информации » в момент времени n.

Эти отличия объясняют, почему банковский счет называют «безрисковым» активом, а акции — «рисковыми» активами.

Полагая


можем записать, что


где (процентные ставки) -измеримы, а -измеримы.

Таким образом, для 


и


Представления (4) и (5) называют представлениями типа «простых процентов» («simple return»).

§ 1b. Понятие о «хеджировании». Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки

1 . Будем предполагать, что финансовая активность на (B,S)-рынке ограничивается моментами 

Пусть  — некоторая («целевая») неотрицательная -измеримая функция, имеющая смысл «платежного обязательства» «терминальной» выплаты, ... .

Определение 1. Портфель ценных бумаг с , , , называется верхним -хеджем (нижним ()-хеджем ), если , и (соответственно, ).

Говорят, что -хедж  является совершенным, если .

Понятие «хеджа» (hedge — забор) играет в финансовой математике и финансовой практике исключительно важную роль некоторого защитного инструмента, позволяющего добиваться гарантированного капитала и преследующего цель страхования сделок на рынке ценных бумаг.

Список литературы/ References

  1. А.Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, 1998г.
  2. Ball C. A. A review of stochastic volatility models with application to option pricing // Financial Markets, Institutions and Instruments. 1993. V. 2
  3. Barlow M. T. One-dimensional stochastic differential equations with no strong solution // Journal of the London Mathematical Society. V. 26. P. 335——347. 1982.