Невозможность выполнения некоторых операций, приводящих исключительно к положительным результатам, подвела математику к использованию нуля и отрицательных чисел; и, наконец, благодаря необходимости извлечения корней, образовалось такое понятие, как иррациональные числа.

Использование аппарата комплексных чисел позволило решить многие сложные математические задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение.

Конец двадцатого века был отмечен стремительным развитием многих областей науки и техники. Вычислительная техника стала незаменимым инструментом решения задач, использующих плоскость комплексных чисел. Помимо того, существует огромное множество систем автоматического управления, использующих комплексные плоскости для поддержания своей работы. В частности, существуют замкнутые устойчивые системы, в которых, согласно теореме, доказанной А. М. Ляпуновым, корни характеристического уравнения должны находиться в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

В дальнейшем данная теорема не только нашла применение в решении подобных задач, но и послужила толчком для развития более эффективных алгоритмов. Одним из них является алгоритм локализации корней полинома в области комплексных чисел.

Задача вычисления, или хотя бы локализации, корней полинома наряду с численными методами линейной алгебры имеет важное прикладное значение. Так, например, вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы при весьма общих предложениях сводится к вопросу о том, все ли корни характеристического уравнения линеаризованной системы расположены в комплексной плоскости левее мнимой оси. Этим объясняется непрекращающийся интерес математиков и инженеров к устойчивым полиномам.

Чтобы целенаправленно искать корни полинома желательно хотя бы ориентировочно представлять себе где они могут находиться. Известно, что корни полинома не выходят за пределы круга на комплексной плоскости с центром в её начале и радиусом R.

Корень полинома часто называют его нулём, т.к. в корне полином обращается в ноль. Если же говорить о комплексном корне (а это общий случай), то в корне и вещественная Re и мнимая Im части значения полинома должны одновременно обращаться в нули. Введём в рассмотрение модуль значения полинома, равный корню квадратному из суммы квадратов Re и Im. И тогда в потенциальном корне этот модуль должен будет обращаться в ноль.

Таким образом, поиск корней полинома на комплексной плоскости можно организовать как поиск таких точек, где модуль данного полинома обращается в нуль. Можно предложить множество алгоритмов решения этой задачи. Т.к. нуль — это абсолютный минимум значения модуля, то корни можно искать как точки абсолютных минимумов (все абсолютные минимумы для модулей в области, содержащей корни полинома, равны нулю). Следует ограничиться самым примитивным, но простым в программном отношении методом поиска, а именно — перебором (сканированием) заданной области с некоторым фиксированным шагом. Для простоты используется одно и то же значение шага h и по вертикали и по горизонтали. Тем самым как бы покрывается исследуемая область (участок комплексной плоскости) квадратной сеткой (с размером ячейки h*h), вычисляется в узлах сетки значение полинома, определяется модуль этого значения и выбирается тот узел, где модуль значения полинома будет наименьшим.

По значению полинома (и его модуля в частности) весьма трудно оценить расстояние от рассматриваемой точки до корня. Исключение — если бы модуль точно равнялся нулю. Однако, нуль с погрешностью уже не нуль. Для решения данной задачи, для начала, следует просто отыскать узел, где модуль полинома принимает минимальное значение. Найденная таким образом точка (узел) и будет наилучшим претендентом на роль искомого корня.

Следует отметить, что задачи вычисления корней полинома и их локализации в заданной области поля комплексных чисел являются взаимосвязанными и взаимно дополняемыми. Их не следует противопоставлять. Так, при вычислении корней полинома с помощью итерационного алгоритма необходимо выбрать начальное значение корня. От этого корня зависит очень многое. Например, область сходимости метода Ньютона к какому-либо корню на комплексной плоскости, так называемая зона притяжения, образует фрактальную структуру. Даже корни полинома вычисляются в поле действительных чисел, предварительно должна быть решена задача их достаточной локализации, чтобы начальные значения для итерационного алгоритма сходились к различным корням.

Список использованной литературы:

  1. Ляпунов А. М. Избранные труды / Редакция академика В. И. Смирнова; комментарии академика С. Н. Бернштейна, члена-корреспондента АН СССР Л. Н. Сретенского и члена-корреспондента АН СССР Н. Г. Четаева. — Л.: Издательство Академии Наук СССР, 1948.
  2. Тубольцев, М.Ф. Компьютерная реализация топологического метода локализации корней полинома в поле комплексных чисел = Computer Realisation of a Topological Method of Localisation of Roots of a Polynom in the Field of Complex Numbers / М.Ф. Тубольцев, В.М. Михелев ; НИУ БелГУ // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электронная вычислительная техника. (ЭВТ). 2011.